Un blocco di sughero a forma di sughero di massa m=200 kg inizialmente fermo poggia sulla base minore di un piano inclinato privo di attrito a forma di trapezio rettangolo come in figura. Il lato obliquo del trapezio misura 17,00 m e la sua base maggiore B 16,0 m. Alla base del piano inclinato è presente un piano orizzontale scabro. Il coefficiente di attrito fra il blocco e il piano è μd=0,35.
Calcola la distanza raggiunta dal cubo sul piano orizzontale supponendo che esso venga spinto con una velocità iniziale vi=0,60 m/s.
(densità sughero=200 kg /m^3)
Idea
Possiamo dividere il problema in 3 parti:
- determinare l’altezza del piano inclinato;
- determinare la velocità con cui il blocco giunge alla base del piano inclinato;
- determinare la distanza x percorsa dal blocco.
Procedimento & Soluzione
1)
L’altezza del piano inclinato è la stessa di un triangolo avente come ipotenusa I il lato obliquo del trapezio e come cateto maggiore c1 la differenza tra la base del trapezio e il lato del cubo. Per trovare il lato del cubo occorre trovare per prima cosa il volume: m=V*d [da cui] V=m/d. Essendo il volume del cubo V=l^3 il lato non sarà altro che l=V^1/3=(m/d)^1/3
Dunque possiamo applicare il teorema di pitagora per trovare il cateto c2 corrispondente all’altezza:
c2=((I)^2-(c1)^2)^1/2 [da cui] c2=((I)^2-(B-(m/d)^1/3))^1/2=((17,0m)^2-(16,0m-(200kg/200kg*m^3)^1/3)^2)^1/2= 8,00m e quindi h=8,00m
2)
In assenza di attrito, e quindi nella fase di discesa il sistema è isolato, e ciò vuol dire che non vengono esercitate forze esterne sul blocco e basterà dunque applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica per trovare la velocità:
Em=Ui+Ki=costante =>U1+K1=U2+K2=>mgh1+1/2mv1^2=mgh2+1/2mv2^2=>gh1+1/2v1^2=gh2+1/2v2^2=>
v2=((gh1+1/2v1^2-gh2)*2)^1/2=(((9,81 m/s^2*8,00)+(1/2*0,60 m/s)^2-(9,81 m/s^2*0 m))*2)^1/2 ≃ 12,5 m/s
3)
Per trovare la distanza x percorsa dal corpo dobbiamo innanzitutto stabilire la forza di attrito che agisce sul blocco: Fa=m* μd. Poichè il blocco è soggetto ad una forza esterna (la forza di attrito) purtoppo non ci è più possibile utilizzare la conservazione dell’energia meccanica. Ma niente paura, un altro utile teorema ci verrà in aiuto, il teorema del lavoro. Procediamo impostando l’equazione:
K1+L=K2=>L=K2-K1=>-Fa*x=1/2mv2^2-1/2mv1^2=>x=(mv2^2-mv1^2)/(2*-Fa)=>x= (mv2^2-mv1^2 )/(-2*m*g* μd) =>
=> x=(v2^2-v1^2)/(-2*g*μd)= ((0 m/s)^2-(12,5 m/s)^2 )/(-9,81 m/s^2*0,35) ≃45,5 m
Quantum&Co. 